1. এক মাত্রিক গতি-সঠিক উত্তরটি বেছে নাও
1.1 একটি বস্তুর ত্বরণ- সময় লেখচিত্রটি দেওয়া আছে। বেগ-সময় লেখচিত্রটি কেমন হবে? 
A) 
B) 
C) 
D) 
=> OA সময় পর্যন্ত নির্দিষ্ট ত্বরণ আছে। এই সময় কণার বেগ ক্রমশ বৃদ্ধি পাবে।
AB পর্যন্ত ত্বরণ শূণ্য। তাই এইটুকু সময় কণাটী সমবেগে চলবে।
BC পুযন্ত আবার সমত্বরণ থাকায় কণাটির বেগে আবার বৃদ্ধি পেতে থাকবে।
সেজন্য উত্তর হবে option B
1.2 A particle is projected with velocity v_0 along x axis. A damping force is acting on the particle which is proportional to the square of distance from the origin i.e. ma=-{\alpha}x^{2}. The distance at which the particle stops: a) (\frac{2m{{v}_{o}}^{2}}{3\alpha }{)}^{\frac{1}{2}} b)(\frac{3m{{v}_{o}}^{2}}{2\alpha }{)}^{\frac{1}{2}} c) (\frac{3m{{v}_{o}}^{2}}{2\alpha }{)}^{\frac{1}{3}} d) (\frac{2m{{v}_{o}}^{2}}{3\alpha }{)}^{\frac{1}{3}} [JEE,feb-22]
ma=-\alpha {x}^{2}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\or,\frac{dv}{dt}=-\frac{\alpha }{m}{x}^{2}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\or,\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-\frac{\alpha }{m}{x}^{2}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\or,v\frac{dv}{dx}=-\frac{\alpha }{m}{x}^{2}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}vdv=-\frac{\alpha }{m}{x}^{2}dx\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\or,\int _{{v}_{0}}^{0}vdv=-\frac{\alpha }{m}\int _{o}^{x}{x}^{2}dx\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\or,{{(\frac{{v}^{2}}{2})}_{{v}_{0}}}^{0}=-\frac{\alpha }{m}{{(\frac{{x}^{3}}{3})}_{{0}_{}}}^{x}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\or,\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2}=-\frac{\alpha }{3m}{x}^{3}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\so, x=(\frac{{3m}_{}}{2\alpha }{{v}_{0}}^{2}{)}^{\frac{1}{3}}1.3 দ্বিমাত্রিক স্থানে একটি বস্তুর গতির সমীকরণ x = 5t2+2, y = 2t2+5 | বস্তুটির গতিপথ একটি A) অধিবৃত্ত B) সরলরেখা C) বৃত্ত D) পরাবৃত্ত
=> x = 5t2+2 or, t2 = (x-2)/5
এবং y = 2t2+5 or, t2 = (y-5)/2
t2 এর মান তুলনা করে পাই....
(x-2)/5 = (y-5)/2 or, 2x-4 = 5y-25 or, 2x-5y+21 = 0
এটি একটি সরল রেখার সমীকরণ।
1.4 X-অক্ষ বরাবর একটি কণার সরণের সমীকরণ, x = 40 + 12t- t3। থামার আগে কণাটি কতদূর যাবে ?—(A) 16 m, (B) 40 m, (C) 56 m, (D) 36 m
=> x = 40 + 12t - t^3 or, v = \frac{dx}{dt} = 0 + 12 - 3t^2
v = 0 হলে, 12 - 3t^2=0 or, t^2=\frac{12}{13} or,t=2 [t এর ধনাত্মক মান গৃহীত]
t=0 সময়ে, x = 40 + 12.2 - 2^3 = 56
1.5 t = 0 সময়ে x = 0 বিন্দুতে থাকা একটি বস্তু x-অক্ষ বরাবর v = a√x বেগে চলতে শুরু করল। বস্তুটির সরণ ও সময়ের মধ্যে সম্পর্কটি
হল – (A) x ∝ t, (B) x ∝ √t, (C) x∝ t2 (D) কোনোটিই নয়।
=> v = a√x
or, \frac{dx}{dt} = a√x
or, \int x^{ - \frac{1}{2}}dx = \int adt
or, 2x^{\frac{1}{2}} = adt + c
t=0 হলে, x=0. 20^{\frac{1}{2}} = a.0 + c ∴ c=0
or, 2\sqrt{x} = at + c
or, x = \frac{{a}^2}{4}{t}^2 ∴x∝t2
1.6 একটি বল অভিকর্ষের প্রভাবে অবাধে পড়ছে। 0 – 3 sec এবং 4 – 5 sec সময়ের ব্যবধানে বলটির অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত হল (A) 1 : 1, (B) 1:16, (C) 9 : 16, (D) 16 : 25
=> প্রাথমিক বেগ u=0
0 – 3 sec সময় পরে x = \frac{1}{2}g3^2 = \frac{9}{2}g
4 – 5 sec সময়ে অর্থাৎ 5th সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব x4= \frac{g}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9}{2}g
দূরত্বের অনুপান x:x4= \frac{9}{2}g:\frac{9}{2}g = 1:1
1.7 t সময়ে একটি বস্তুর অবস্থান ভেক্টর \overrightarrow{r} = 4t^2\widehat{i} + 3t^2\widehat{j} + 2\widehat{k}। বস্তুটির ত্বরণের মান হবে –(A) 5 m·s-2, (B) 10 ms-2, (C) 8 m.s−2, (D) 0
=> বেগ, \overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 4\times2t\widehat{i} + 3\times2t\widehat{j} + 0 = \overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 8t\widehat{i} + 6t\widehat{j}
ত্বরণ, \overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = 8\widehat{i} + 6\widehat{j}= a = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10
1.8 স্থিরাবস্থা থেকে একটি গাড়ি যাত্রা শুরু করে সমত্বরণে চলছে। n তম সেকেন্ড ও n সেকেন্ডে গাড়িটির দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত – (A) \frac{2n - 1}{2n^2} (B) \frac{n^2}{2n - 1} (C) \frac{2n - 1}{n^2} (D) \frac{1}{n^2}
=> {S}_{n} = \frac{1}{2}a(2n - 1) এবং S = \frac{1}{2}an^2
∴S:Sn=\frac{1}{2}a(2n - 1):\frac{1}{2}an^2 = \frac{2n - 1}{n^2}
1.9 একটি বস্তু স্থির অবস্থা থেকে সমত্বরণে যাত্রা শুরু করে প্রথম 10 সেকেন্ডে x দূরত্ব এবং পরবর্তী 20 সেকেন্ডে y দূরত্ব অতিক্রম করে। x এবং y-এর মধ্যে সম্পর্কটি হল – (a) y = x, (b) y = 2x, (c) y = 8x, (d) y = 4x
=> x = প্রথম 10s এ অতিক্রান্ত দূরত্ব = \frac{1}{2}a10^2
y = পরের 20s এ অতিক্রান্ত দূরত্ব = (30s এ অতিক্রান্ত দূরত্ব) - (প্রথম 10s এ অতিক্রান্ত দূরত্ব) = \frac{1}{2}a30^2 - x = 32×\frac{1}{2}a10^2-x = 9x-x = 8x
ABC প্রিজমের প্রতিসারক কোণ ∠A। PQ রশ্মি AC তলে ∠
